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高中数理化

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2025年17期

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名师工作室 | 数列分组问题的求解策略

名师工作室 | 数列分组问题的求解策略

等差数列和等比数列是离散数学领域的两类重要数列，在实际生活中有着广泛的应用.如何将一个数列划分为若干满足特定条件的子数列也是离散数学领域研究的重要课题，在高中数学中与此密切相关的就是数列的分组问题，如果数列 {an} 的通项公式对于 n 的不同取值范围有不同的表达形式，则称数列 {an} 是一个分组数列（分段数列）. 比较常见的分组数列可根据其通项按 n 是奇数，或偶数进行分组，如（ k
高考全关注 | 基于关键能力培养的高考微专题复习

高考全关注 | 基于关键能力培养的高考微专题复习

与三角函数中参数 ω 取值相关的问题在近几年的高考试题中出现的频率比较高，它常以选择题、填空题的形式出现，考查整体代换、化归与转化、数形结合等数学思想，属于基础题或中档题.本文归类解析与三角函数中参数 ω 的取值相关的问题. 1与三角函数单调性有关的 ω 解答与三角函数单调性有关的 ω 取值范围问题的常规思路如下. 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）在某
高考全关注 | 值得重视的考点

高考全关注 | 值得重视的考点

将 sin 3α，cos 3α 称为 α 的三倍角的正余弦，它们都能用单倍角 α 的正余弦来表示，即 sin3α=3sinα- 4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα ，这组公式称为三倍角的正余弦公式.它们还可变形为 sin3α= .三倍角公式及其变形式在近年的竞赛、高考模拟和强基试题中时有出现，本文举例说明它们的应用. 1用于求值例1求 sin320∘+sin340∘-si
高考全关注 | 回归教材，注重联系，考查思维

高考全关注 | 回归教材，注重联系，考查思维

1学业要求教材是知识外显的重要载体，也是实现数学课程目标、发展核心素养的重要教学资源.数学教材为“教"与“学"活动提供了学习主题、基本线索和具体学习内容.人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册安排的学习内容为函数，包含“数列”和“一元函数的导数及其应用”两章.数列作为一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，也是研究其他类型函数的重要工具，在购房贷款、放射性物质衰变、人口增长等实际场景中有着广
题根研究 | 探究解三角形中有关边长比值的取值范围问题

题根研究 | 探究解三角形中有关边长比值的取值范围问题

解三角形是高考中的重点题型，常与平面向量、三角恒等变换、不等式等综合考查.随着新高考的深入推进，解三角形题型在不断变化与创新，一类三角形中有关边长比值的取值范围问题悄然出现，处理这类问题的主要方法是通过消元建立目标函数，进而运用重要不等式或三角函数的有界性解决， 1 引例解析引例已知△ABC 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且 ΔABC 的面积为 c2-b2）
题根研究 | 对2025年数学新高考Ⅰ卷第8题的分析、变式与推广

题根研究 | 对2025年数学新高考Ⅰ卷第8题的分析、变式与推广

比大小是不等式中的一类经典问题，也是近几年来高考中的热点.这类问题大致可分为两类：第一类是给出几个确定的数进行比大小，第二类是当几个数满足某一方程或不等式时，进行比大小.对于第一类问题，常用的处理方式就是放缩法或直接构造函数，利用函数的性质解题.对于第二类问题，由于这些数不一定是确定的，所以在处理这类问题时，要比第一类问题复杂.2025年数学新高考1卷第8题就是属于第二类问题，笔者通过探究，发现此
题根研究 | 一道三角形最值问题的多解与变式

题根研究 | 一道三角形最值问题的多解与变式

1 试题呈现题目已知 ΔABC 的面积为1，且 AB=2BC ，则当 AC 取得最小值时， BC 的长为波利亚在名著《怎样解题：数学思维的新方法》中指出解题时应尽可能“找出已知与未知之间的联系”为践行这一解题理念，本文拟从已知条件ABC的面积为1与 AB=2BC 人手，结合条件特征，从不同角度出发，瞄准 AC 取得最小值这一目标，求得未知BC的长.希望笔者的尝试对读者有所裨益. 2 试题
考题分类评析 | 聚焦平面向量热点综合题

考题分类评析 | 聚焦平面向量热点综合题

平面向量在高中数学知识中占据举足轻重的地位，它是沟通几何与代数的桥梁，是解决复杂数学综合题目的有力工具.近年来，这一知识点成为考查学生知识综合运用能力的热门考点.特别是与平面向量有关的问题，往往与函数、不等式、解三角形、圆锥曲线等综合考查.要熟练解决有关平面向量的综合问题，学生需牢固掌握平面向量的基本概念、性质以及其他重要知识点，并洞察这些知识点之间的内在联系. 1与函数问题相结合例1已知向
考题分类评析 | 揭秘数列创新题

考题分类评析 | 揭秘数列创新题

由等差、等比数列通过组合、类比或推广构造出一种新的数列，我们称之为由这两类基本数列演化出来的“生成数列”，解此类问题的关键仍然是运用等差、等比数列知识，涉及哪个数列问题就灵活运用相关知识求解，这类问题我们称为数列创新题.那么数列创新题究竟有哪些类型呢？本文举例说明，供大家参考. 新定义创新题例1 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn .若 an+1≤2（n∈N"），则称{an}是“紧密
考题分类评析 | 剖析三角函数中 ω 的取值范围问题

考题分类评析 | 剖析三角函数中 ω 的取值范围问题

在高考数学中，三角函数的考查方向十分明确，主要以三角函数为载体衍生出一系列题型，如求函数的单调性、单调区间、平移变换问题等，其中三角函数中 ω 的取值范围问题是高考考查的重点.本文对三角函数中 ω 的取值范围问题进行剖析，旨在加深学生对此类问题的理解， 1利用三角函数的对称性此类问题有两种求解路径.一种路径是由代数法列式求解，即根据三角函数的已知对称轴或对称中心直接建立关系式，依据的原理为“
考题分类评析 | 探究奔驰定理与三角形“四心”问题

考题分类评析 | 探究奔驰定理与三角形“四心”问题

奔驰定理为系统解决三角形“四心”（重心、内心、外心、垂心）问题提供了重要的解题思路，是向量知识拓展的重要模式.本文给出了一些二级结论及其证明过程，并阐述这些结论在解题中的应用. 奔驰定理若 O 是 ΔABC 内一点，记 ΔBOC . ΔAOC，ΔAOB 的面积分别为 SA，SB，SC ，则奔驰定理与三角形的“四心"有着紧密的关联， 1三角形“四心"相关结论的推导结论1若点 O 是△
考题分类评析 | 探究解三角形问题

考题分类评析 | 探究解三角形问题

分析近年高考试题发现，解三角形问题主要涉及四类题型，即求基本量问题、解的存在性问题、三线问题、最值范围问题等.下面对这些热点问题举例分析，并归纳相应的处理策略. 1求基本量问题三角形包含三条边、三个角、周长以及面积等多个基本量，已知某些量求其他相关量是高考常考题型.若所给关系中含有角的正弦或边的一次式，可考虑从正弦定理入手，即通过边角互化，实现二者统一.若所给关系中含有角的余弦或边的二次式，
考题分类评析 | 高考导向下一类解三角形问题的复习备考

考题分类评析 | 高考导向下一类解三角形问题的复习备考

在解三角形中，涉及中线、三等分线、高线、角平分线的一类解三角形问题（本文称之为解三角形“背靠背"模型）是近年高考的热点，本文聚焦此类问题的复习备考，形成专题.首先，对近几年高考试题进行系统研究，提炼试题的通性通法和个性化解法；其次，回归课标及教材，溯源并深研题根，对解三角形“背靠背"模型进行统一；最后，以2023年数学新高考Ⅱ卷第17题为例，进行问题求解与变式探究，实现知识与方法的巩固和迁移，并在
考题分类评析 | 解三角形中“正切倒数和”模型的性质探究及拓展

考题分类评析 | 解三角形中“正切倒数和”模型的性质探究及拓展

解三角形通常会涉及三角函数、向量、函数等知识，一般以边或角的正弦、余弦关系式作为条件，然而与正切相关的题目让学生感到比较棘手，如“ 为常数）（‘正切倒数和‘模型）”4 =λ（λ为常数）（‘正切比’模型）”“ 为常数）” 那么，怎样将陌生问题转化为熟悉的问题？笔者分析了近三年来有关“正切倒数和”模型及其拓展模型——“正切比"模型的考题，探究了它们的性质及其所蕴含的几何背景. 1原题呈现
重点辅导 | 辅助角公式应用直通车

重点辅导 | 辅助角公式应用直通车

三角函数问题离不开三角恒等变换，尤其是辅助角公式.对于形如 y=asinx+bcosx（a，b 不同时为0）的三角函数，可以适当变形为其中 sin φ= ，COs ，称这个公式为辅助角公式.它在研究三角函数问题中具有不可替代的作用，是解答三角函数问题的“必备武器”那么辅助角公式可以帮助我们解决哪些常见的问题呢？本文举例说明. 1化简求值问题例1 化简将原式化简得
重点辅导 | 探秘解三角形“三线”问题

重点辅导 | 探秘解三角形“三线”问题

解三角形是高中数学的重要内容，其中涉及中线、角平分线、高线（以下简称“三线"的问题因综合性强、灵活性高，成为学生学习的重难点.“三线”在三角形中各自具有独特的几何性质，与三角形的边、角紧密相连.本文深入剖析“三线”问题，通过对典型题型的分类阐述，详细总结各类问题的求解策略，旨在帮助学生掌握解三角形“三线"问题的核心方法，提升数学解题能力. 1中线问题常见题型有已知三角形的三条边，求某条边上中
重点辅导 | 赏析数列中的数学文化

重点辅导 | 赏析数列中的数学文化

从古代谜题到现代科学，数列在数学各分支及物理、生物、计算机科学等多学科中都不可或缺，深人探究数列中的数学文化意义重大.角谷猜想借助简单规则构建数列，体现数列变化的规律；斐波那契数列在自然和数学领域频繁现身，在计算机算法等现代技术中应用广泛；杨辉垛积公式可用于解决高阶等差数列求和问题，古今皆有重要作用；欧拉函数反映数的互质关系，对数论研究和密码学意义非凡；牛顿切线法用数列迭代求解方程，在数值计算中应
重点辅导 | 探究基本不等式在解三角形问题中的应用

重点辅导 | 探究基本不等式在解三角形问题中的应用

解三角形问题类型多样、题目繁多，其中求最值与取值范围的题型特点鲜明、解法精妙，求解的常规方法是先运用正弦定理、余弦定理建立关系式，再运用基本不等式求解.本文对几道典型例题进行分析，展示解题核心要点和关键技巧，供读者参考. 1求解三角形中边的问题例1在 ΔABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，若 cos A ，且 a=4 ，求 b+c 的取值范围. 因为，由正
重点辅导 | 例说平面向量在解三角形中的妙用

重点辅导 | 例说平面向量在解三角形中的妙用

平面向量具有数与形的双重特征，是数学解题的“锐利武器”.正弦定理、余弦定理有多种证法，而教材采用了平面向量法，这足以说明平面向量应用的广泛性.对于某些解三角形问题来说，平面向量法也不失为一种好方法.那么平面向量在解三角形中有哪些妙用呢？本文举例说明. 1利用平面向量巧求边的长度例1 已知 ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，满足 2 （1）求角 C ：（2）若
难点挑战 | 从代数计算到几何直观：米勒定理在高中数学中的应用

难点挑战 | 从代数计算到几何直观：米勒定理在高中数学中的应用

1米勒定理 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个问题：在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？此最大视角问题被称为米勒问题，其结论被称为米勒定理，如图1所示，已知点 A，B 是 ∠MON 的边 ON 上的两个定点， P 是边OM上的一个动点，则点 P 在何处时， ∠APB 最大？图1 对于这个问题，有如下结论. 米勒定理在上述条件下，当且
难点挑战 | 关注解三角形中三个二级结论及其应用

难点挑战 | 关注解三角形中三个二级结论及其应用

所谓二级结论，就是运用教材中的定义、定理、公式和性质进行推理所得出的结论，如果确认结论是正确的，可以直接用于求解非解答题，而在解答题中一般不能直接运用（除非有特殊说明或基本推理），但可以利用其引导解题方向.在解三角形问题中，有三个典型的二级结论用途广泛，本文介绍其证明过程及相关应用，供读者参考. 1三角形的射影定理及其应用在△ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 Ψa ，b，c ，过点
方法与技巧 | 探究构造法求数列通项公式模型

方法与技巧 | 探究构造法求数列通项公式模型

已知数列的递推关系求此数列的通项公式是高考数学中常见的题型之一，此类问题的解法灵活多变，其中抓住题自特点构造常见数列是常用方法.本文介绍了八种求解数列通项公式的构造法. 1 an+1=pan+q 型求解这类问题先将递推公式 an+1=pan+q 转化为 an+1+r=p（an+r），再用待定系数法求出 r 的值，进而转化为求解新的等比数列的通项问题. 例1已知数列 {an} 中， a1=
方法与技巧 | 三角恒等变换究竟变什么

方法与技巧 | 三角恒等变换究竟变什么

三角问题的求解往往离不开三角恒等变换.无论是三角函数的化简与求解，还是三角恒等式的证明，三角恒等变换是主导.对于三角恒等变换，有些同学常因其公式众多、方法灵活、技巧性强而难以掌握.究其原因主要是没有抓住三角恒等变换的本质，即“化异为同”，突出一个变字.那么究竟变什么？简单地说就是变“角”变“名”变“数”下文举例说明，供大家参考. 1变"角” 变"角”，即角的差异变换，解题时应分析角与角之间的特
方法与技巧 | 新定义问题解题策略研究

方法与技巧 | 新定义问题解题策略研究

本文以2023年高考数学北京卷第21题为例，分析该题的解题思路，并总结出其一般的解题策略，希望对读者有所启发. 1题目呈现题目（2023年北京卷21）已知数列 {an}，{bn} 的项数均为 m （m>2 ，且 an，bn∈{1，2，…，m} {an}，{bn} 的前 n 项和分别为 An，Bn ，并规定 A0= B0=0 对于 k∈{0，1，2，…，m} ，定义 rk=max{i
方法与技巧 | 抓住性质巧解向量中的三角形问题

方法与技巧 | 抓住性质巧解向量中的三角形问题

向量是高考的必考内容，其中向量与解三角形的综合题比较常见，解决此类问题的核心是综合利用向量知识和三角形的性质，因此对正弦定理、余弦定理及面积公式的运用必须熟练自如.本文以几道典型例题为例，介绍问题的求解思路，供学生参考. 1探究向量线性运算的应用例1已知 P 是 ΔABC 内一点，且满足，若 ΔABP，ΔBCP，ΔACP 的面积依次为 S1，S2，S3 ，则 S1：S2：S3= 如
方法与技巧 | 聚焦核心素养剖析热点题型

方法与技巧 | 聚焦核心素养剖析热点题型

解三角形是高中数学的基础知识，也是高考常考考点.其核心在于运用正弦定理、余弦定理、三角函数公式及基本不等式等知识，判断或求解有关三角形的形状、周长等综合问题.这类问题所涵盖的知识点广泛，题自设计巧妙，学生只有在日常学习中加强对此类问题的针对性练习，并有效梳理与总结解题方法，才能够精准把握解题要领.本文借助一些典型例题，深入剖析这类问题的解题策略. 1判断三角形的形状问题在判断三角形形状时，应
方法与技巧 | 判断或证明等差、等比数列的方法

方法与技巧 | 判断或证明等差、等比数列的方法

等差数列与等比数列是高考数学的核心知识，判断或证明等差、等比数列是高考重点考查内容.熟练掌握这两类数列的判断、证明方法是深入理解数列知识体系的基础.然而，从实际学习情况来看，很多同学在面对这类问题时常常感到困惑，不知如何下手.这凸显出深入研究此类问题的证明方法、解题技巧的重要性. 1 定义法定义法是判断或证明等差、等比数列的根本方法.对于等差数列，核心在于验证相邻两项的差值为同一常数，即
方法与技巧 | 平面向量模的最值问题求解策略与深化应用

方法与技巧 | 平面向量模的最值问题求解策略与深化应用

平面向量模的最值问题综合性强、解法灵活，是高考与竞赛的热点题型.此类问题常以向量垂直、定夹角、线性约束为背景，要求学生从多角度突破难点.本文以一道典型题为例，系统剖析解题策略，揭示向量兼具“数形双属性"的解题优势，为后续方法迁移提供理论支撑. 1 问题呈现题目已知平面向量 a，b，e ，且 ∣e∣=1，∣a∣=2 若向量与 e 所成的角为 60∘ ，且 |b-te|≥|b-e| 对任意实
方法与技巧 | 向量运算视角下隐圆问题的几何特征与解题路径

方法与技巧 | 向量运算视角下隐圆问题的几何特征与解题路径

近年来，隐圆问题在高考解析几何试题中频繁出现，成为考查学生几何直观与代数运算能力的载体，该类试题一般以向量为载体，隐含动点轨迹为圆作为条件，要求学生从复杂几何关系中抽象出圆的方程并求解与圆有关的综合问题，这不仅要求学生具备扎实的几何图形分析能力，还需灵活运用代数工具对条件进行转化.向量作为连接几何与代数的桥梁，为隐圆问题的解决提供了全新视角.一方面，向量运算可直接通过模长、数量积等代数化表达揭示几
学科防疫站 | 数列学习中需要注意的几类问题

学科防疫站 | 数列学习中需要注意的几类问题

数列是高中数学的核心模块之一，是历年高考的必考考点，常与其他模块知识综合考查，试题难度中等偏上.考生在解题中常因忽视数列的特殊性，出现各种错误，下面举例分析处理数列问题需要注意的几个关键点. 1注意为正整数从函数的视角来看，数列的通项公式、前 n 项和公式，均可视为以 n 为自变量的函数，但需要注意函数的定义域，即 n 的取值范围是正整数.解决相关问题时，如果忽视这一特性，则易出现错解.

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